พื้นฐานของ Liouville Field Theory

เรขาคณิตและฟิสิกส์ควอนตัมผสานรวมกันเพื่ออธิบายโครงสร้างของอวกาศสองมิติได้อย่างไร? Liouville field theory คือกุญแจสำคัญที่เชื่อมโยงเรขาคณิตคลาสสิกของพื้นผิว Riemann เข้ากับโลกควอนตัมของทฤษฎีสตริง (string theory) และแรงโน้มถ่วง 2 มิติ คอร์สเรียนรูปแบบข้อความเป็นหลักนี้จะนำคุณตั้งแต่พื้นฐานระดับเริ่มต้นของเรขาคณิตพื้นผิวแบบคลาสสิก ไปจนถึงโครงสร้างที่ซับซ้อนของทฤษฎีสนามคงรูปควอนตัม (quantum conformal field theory) การอ่านคำอธิบายที่มีโครงสร้างชัดเจนและการทำแบบฝึกหัดเชิงวิเคราะห์ จะช่วยให้คุณสร้างความเข้าใจทั้งทางสัญชาตญาณและทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งในสาขาฟิสิกส์คณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งนี้ คุณจะได้: เข้าใจสมการ Liouville แบบคลาสสิกและบทบาททางประวัติศาสตร์ในการทำให้เป็นรูปแบบเดียว (uniformization) ของพื้นผิว Riemann; สำรวจว่า quantum Liouville theory เกิดขึ้นในฐานะ conformal anomaly ใน bosonic string theory ได้อย่างไร; เรียนรู้พื้นฐานของทฤษฎีสนามคงรูป ซึ่งรวมถึง Virasoro algebra และ primary fields; วิเคราะห์ทฤษฎี Liouville ในรูปแบบความน่าจะเป็นสมัยใหม่โดยใช้ Gaussian Free Fields; ฝึกฝนการคำนวณ conformal weights และการแก้สมการสนามผ่านการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์แบบเป็นขั้นตอน คอร์สเรียนนี้เริ่มต้นด้วยคำนิยามที่จำเป็นของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน (complex manifolds) และสนามคลาสสิก เพื่อให้มั่นใจว่าคุณมีพื้นฐานที่มั่นคง จากนั้นคุณจะได้ก้าวหน้าไปสู่ quantum path integrals, โปรแกรม bootstrap และการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ร่วมสมัย คอร์สนี้ออกแบบมาสำหรับนักศึกษา นักวิจัย และผู้ที่สนใจฟิสิกส์ที่กำลังมองหาจุดเริ่มต้นที่เข้าถึงได้และเป็นมิตรกับผู้เริ่มต้นสู่ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ระดับสูง การมีพื้นฐานด้านแคลคูลัสและฟิสิกส์ควอนตัมเบื้องต้นจะช่วยได้มาก แต่ไม่จำเป็นต้องมีความรู้มาก่อนเกี่ยวกับทฤษฎีสตริง เริ่มสำรวจรากฐานทางคณิตศาสตร์ของแรงโน้มถ่วงควอนตัมได้แล้ววันนี้